¿los fractales implican el Caos o el Caos implica Fractal?
¿De qué manera se puede obtener un fractal sencillo?
¿Cuales fueron los cuatros primeros Fractales a través de la historia?
Los invito explorar las siguientes páginas y puedan resolver las consignas:
http://www.oni.escuelas.edu.ar/olimpi99/fractales/que_son.htm
http://usuarios.lycos.es/sisar/fractales/caos.php
http://www.fractovia.org/art/es/what_es1.shtml
jueves, 18 de septiembre de 2008
Dimensión Fractal
Mandelbrot, el representante de las curvas fractales, definió un “fractal” como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff o dimensión fractal es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Recordando que la dimensión topológica es un número entero: vale cero para un punto, uno para una recta, dos para un plano y tres para un cuerpo en el espacio y la topología es la rama de la matemática que estudia las propiedades de los objetos geométricos que permanecen invariantes cuando se les aplican ciertas transformaciones característica, conocidas con el nombre de homeomorfismos. Estas transformaciones topológicas pueden pensarse como procesos que deforman un objeto geométrico como si fuera maleable o de goma. Por ejemplo, entre la circunferencia y el triángulo hay definido un homeomorfismo que permite deformar uno en el otro, por lo tanto son objetos geométricos topologicamente equivalentes, es decir, tienen la misma topología.
En cambio, la dimensión de Hausdorff esta definida para cualquier subconjunto de R^n pero no es invariante ante homeomorfismos. Esta dimensión, mide cuantitativamente cuan complicado o irregular es un conjunto en todas las escalas, aunque se trate de conjuntos infinitos.
A continuación, detallo como procedemos para calcular la dimensión topológica, dónde más adelante servirá para verificar la dimensión de un fractal.
Recordando que la dimensión topológica es un número entero: vale cero para un punto, uno para una recta, dos para un plano y tres para un cuerpo en el espacio y la topología es la rama de la matemática que estudia las propiedades de los objetos geométricos que permanecen invariantes cuando se les aplican ciertas transformaciones característica, conocidas con el nombre de homeomorfismos. Estas transformaciones topológicas pueden pensarse como procesos que deforman un objeto geométrico como si fuera maleable o de goma. Por ejemplo, entre la circunferencia y el triángulo hay definido un homeomorfismo que permite deformar uno en el otro, por lo tanto son objetos geométricos topologicamente equivalentes, es decir, tienen la misma topología.
En cambio, la dimensión de Hausdorff esta definida para cualquier subconjunto de R^n pero no es invariante ante homeomorfismos. Esta dimensión, mide cuantitativamente cuan complicado o irregular es un conjunto en todas las escalas, aunque se trate de conjuntos infinitos.
A continuación, detallo como procedemos para calcular la dimensión topológica, dónde más adelante servirá para verificar la dimensión de un fractal.
REFERENCIA:
N: Cantidad de partes que se dividió.
E: Escala.
N: Cantidad de partes que se dividió.
E: Escala.
-Si tomamos un segmento puede dividirse en N partes iguales, cada una de las cuales esta en relación E=1/N, con el segmento total.
-Si tomamos un cuadrado y lo dividimos en N cuadrados iguales, la relación nos quedaría
-Si tomamos un cuadrado y lo dividimos en N cuadrados iguales, la relación nos quedaría
E=1/(N)^(1/2) .
-Si tomamos un cubo, y lo dividimos en N cubos iguales, la relación nos quedaría
-Si tomamos un cubo, y lo dividimos en N cubos iguales, la relación nos quedaría
E= 1/(N)^(1/3) .
De esta manera:
Si E=1/N entonces N.E=1
Si E=1/(N)^(1/2)_____ N.E² =1
Si E= 1/( N)^(1/3)____ N.E³ = 1, en forma general N.E^D=1, por lo tanto la expresión que sigue me permite calcular la dimensión de un fractal.
De esta manera:
Si E=1/N entonces N.E=1
Si E=1/(N)^(1/2)_____ N.E² =1
Si E= 1/( N)^(1/3)____ N.E³ = 1, en forma general N.E^D=1, por lo tanto la expresión que sigue me permite calcular la dimensión de un fractal.
D= logN / log (1/E)
Se deduce, entonces que los fractales reunen ciertas propiedades:
a) La dimensión fractal es mayor que la dimensión topológica.
b) Un fractal es demasiado irregular para ser descripto por la geometría euclideana tradicional.
c) Tiene cierta forma de autosemejanza.
d) Un fractal tiene una estructura fina, esto es, detalle en escalas arbitrariamente pequeñas.
En la naturaleza existen muchos objetos que se podría llamar “fractal” El problema con cualquier definición de fractal es que existen objetos que uno quisiera llamar fractal, pero que no satisfacen ninguna de las propiedades anteriores.
Por ejemplo, fractales de la naturaleza como nubes, montañas y vasos sanguíneos, tienen límites inferiores y superiores en detalle; no existe un término preciso para "demasiado irregular"; existen diferentes maneras para definir "dimensión" con valores racionales; y no todo fractal es definido recursivamente. Los fractales estocásticos están relacionados con la teoría del caos.
b) Un fractal es demasiado irregular para ser descripto por la geometría euclideana tradicional.
c) Tiene cierta forma de autosemejanza.
d) Un fractal tiene una estructura fina, esto es, detalle en escalas arbitrariamente pequeñas.
En la naturaleza existen muchos objetos que se podría llamar “fractal” El problema con cualquier definición de fractal es que existen objetos que uno quisiera llamar fractal, pero que no satisfacen ninguna de las propiedades anteriores.
Por ejemplo, fractales de la naturaleza como nubes, montañas y vasos sanguíneos, tienen límites inferiores y superiores en detalle; no existe un término preciso para "demasiado irregular"; existen diferentes maneras para definir "dimensión" con valores racionales; y no todo fractal es definido recursivamente. Los fractales estocásticos están relacionados con la teoría del caos.
¿QUÉ SON LOS FRACTALES?
UN POCO DE HISTORIA....
En la década del ’70, con el advenimiento de la computadora, se produjo un aumento revolucionario del cálculo numérico y permitió tratar problemas hasta ese entonces inaccesible. El matemático de origen Polaco Benoit Mandelbrot, se dedico al estudio de curvas “raras”, que hasta ese momento la denominaban curvas “raras e inútiles”. Todo empezó a cambiar, y le dieron nombre de “curvas Fractales”.
¿Porque Fractales?, El término proviene del latín Fractus, cuyo significado es fracturado y del verbo latino frangere, que quiere decir “romper en fragmentos irregulares”. De esta manera, Mandelbrot sugirió que las montañas, nubes, rocas de agregación y otros fenómenos naturales son similares a los fractales, y no se pueden describir por la geometría de Eúclides..
En 1987, el Matemático Inglés Michael Barnsley descubrió la transformación fractal capaz de detectar fractales en fotografías digitalizadas. Este descubrimiento engendro la compresión fractal de imágenes, utilizada en multimedia y otras aplicaciones basadas en la computación.
Los fractales son autosemejantes, es decir, tienen la propiedad de que una pequeña sección de un fractal puede ser vista como réplica a menor escala de todo el fractal, para ello Mandelbrot utilizó la dimensión, afirmando que la dimensión de un fractal se debe usar como un exponente al medir su tamaño. El resultado es que no se puede considerar estrictamente que los fractales existen en una, dos o un número entero de dimensiones, sino que se han de manejar matemáticamente como si tuvieran dimensión fraccionaria.
¿Porque Fractales?, El término proviene del latín Fractus, cuyo significado es fracturado y del verbo latino frangere, que quiere decir “romper en fragmentos irregulares”. De esta manera, Mandelbrot sugirió que las montañas, nubes, rocas de agregación y otros fenómenos naturales son similares a los fractales, y no se pueden describir por la geometría de Eúclides..
En 1987, el Matemático Inglés Michael Barnsley descubrió la transformación fractal capaz de detectar fractales en fotografías digitalizadas. Este descubrimiento engendro la compresión fractal de imágenes, utilizada en multimedia y otras aplicaciones basadas en la computación.
Los fractales son autosemejantes, es decir, tienen la propiedad de que una pequeña sección de un fractal puede ser vista como réplica a menor escala de todo el fractal, para ello Mandelbrot utilizó la dimensión, afirmando que la dimensión de un fractal se debe usar como un exponente al medir su tamaño. El resultado es que no se puede considerar estrictamente que los fractales existen en una, dos o un número entero de dimensiones, sino que se han de manejar matemáticamente como si tuvieran dimensión fraccionaria.
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