Mandelbrot, el representante de las curvas fractales, definió un “fractal” como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff o dimensión fractal es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Recordando que la dimensión topológica es un número entero: vale cero para un punto, uno para una recta, dos para un plano y tres para un cuerpo en el espacio y la topología es la rama de la matemática que estudia las propiedades de los objetos geométricos que permanecen invariantes cuando se les aplican ciertas transformaciones característica, conocidas con el nombre de homeomorfismos. Estas transformaciones topológicas pueden pensarse como procesos que deforman un objeto geométrico como si fuera maleable o de goma. Por ejemplo, entre la circunferencia y el triángulo hay definido un homeomorfismo que permite deformar uno en el otro, por lo tanto son objetos geométricos topologicamente equivalentes, es decir, tienen la misma topología.
En cambio, la dimensión de Hausdorff esta definida para cualquier subconjunto de R^n pero no es invariante ante homeomorfismos. Esta dimensión, mide cuantitativamente cuan complicado o irregular es un conjunto en todas las escalas, aunque se trate de conjuntos infinitos.
A continuación, detallo como procedemos para calcular la dimensión topológica, dónde más adelante servirá para verificar la dimensión de un fractal.
REFERENCIA:
N: Cantidad de partes que se dividió.
E: Escala.
-Si tomamos un segmento puede dividirse en N partes iguales, cada una de las cuales esta en relación E=1/N, con el segmento total.
-Si tomamos un cuadrado y lo dividimos en N cuadrados iguales, la relación nos quedaría
E=1/(N)^(1/2) .
-Si tomamos un cubo, y lo dividimos en N cubos iguales, la relación nos quedaría
E= 1/(N)^(1/3) .
De esta manera:
Si E=1/N entonces N.E=1
Si E=1/(N)^(1/2)_____ N.E² =1
Si E= 1/( N)^(1/3)____ N.E³ = 1, en forma general N.E^D=1, por lo tanto la expresión que sigue me permite calcular la dimensión de un fractal.
D= logN / log (1/E)
Se deduce, entonces que los fractales reunen ciertas propiedades:
a) La dimensión fractal es mayor que la dimensión topológica.
b) Un fractal es demasiado irregular para ser descripto por la geometría euclideana tradicional.
c) Tiene cierta forma de autosemejanza.
d) Un fractal tiene una estructura fina, esto es, detalle en escalas arbitrariamente pequeñas.
En la naturaleza existen muchos objetos que se podría llamar “fractal” El problema con cualquier definición de fractal es que existen objetos que uno quisiera llamar fractal, pero que no satisfacen ninguna de las propiedades anteriores.
Por ejemplo, fractales de la naturaleza como nubes, montañas y vasos sanguíneos, tienen límites inferiores y superiores en detalle; no existe un término preciso para "demasiado irregular"; existen diferentes maneras para definir "dimensión" con valores racionales; y no todo fractal es definido recursivamente. Los fractales estocásticos están relacionados con la teoría del caos.
